De Monegasken namen Subasic in de winter van 2012 over van Hajduk Split, voor wat zijn eerste avontuur buiten Kroatië zou worden. Destijds was Monaco nog een tweedeklasser, anderhalf jaar na zijn komst werd de poort naar de Ligue 1 al open gebeukt. Die stijgende lijn werd doorgezet met als hoogtepunt het seizoen 2016-2017, waarin ze landskampioen werden en de halve finales van de Champions League bereikten. In datzelfde seizoen werd hij verkozen tot beste doelman in de Ligue 1.

Intussen is de 35-jarige Subasic zijn plaats onder de lat bij Monaco wel al een tijdje kwijt. In totaal speelde hij 292 wedstrijden voor de club, waarmee hij ook nog eens twee keer vicekampioen (2014 en 2018) werd en twee keer de finale van de Ligabeker (2017 en 2018) bereikte.

Ook internationaal had Subasic succes, met 44 selecties voor zijn land. Na de verloren finale van het WK 2018 tegen Frankrijk nam hij afscheid van de Kroatische nationale ploeg.